La aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r de la masa puntual M se define como la fuerza sobre la unidad de masa, situada en dicho punto. Es un vector de módulo

${\displaystyle g=G\frac{M}{r^2}}$

dirección radial y sentido hacia la masa puntual M, tal como se muestra en al figura.

El punto P está en el exterior de la esfera de radio R.

Supongamos que el punto P está situado a una distancia r>R a lo largo del eje Z del centro de un planeta de masa M. Dividimos la esfera en discos (de color azul claro) de radio y variable, de espesor dz, tal como se muestra en la figura. Para calcular la fuerza que ejerce uno de estos discos sobre la unidad de masa situada en P, dividimos cada disco en anillos (en color amarillo) de radio x, de anchura dx y espesor dz.

Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πx·dx)·dz.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P es

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{(r-z)}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{(r-z)}^2}\frac{r-z}{\sqrt{x^2+{(r-z)}^2}}}$

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular resultante de las fuerzas en P debidas a la distribución de masa contenida por el disco de radio y y de espesor dz.

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}G\rho ·2\pi (r-z)dz\frac{xdx}{{\left(\sqrt{x^2+{(r-z)}^2}\right)}^3}}= \\ G\rho ·2\pi (r-z)dz\left(\frac{1}{r-z}-\frac{1}{\sqrt{y^2+{(r-z)}^2}}\right)} \end{gathered}$$

Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –R y +R

z²+y²=R²

La aceleración de la gravedad en el punto P, se obtendrá integrando

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{-R}{\overset{+R}{\int }}G\rho ·2\pi \left(1-\frac{r}{\sqrt{R^2+r^2-2rz}}+\frac{z}{\sqrt{R^2+r^2-2rz}}\right)dz}}$

Integrando por partes el tercer término entre paréntesis

${\displaystyle \begin{array}{l}g=G\rho ·2\pi {\left\{z+\left(1-\frac{z}{r}\right)\sqrt{R^2+r^2-2rz}-\frac{1}{3r^2}\sqrt{{(R^2+r^2-2rz)}^3}\right\}}_{-R}^{+R}=\\ G\rho ·2\pi \left\{\left(R+\frac{{(r-R)}^2}{r}-\frac{{(r-R)}^3}{3r^2}\right)-\left(-R+\frac{{(r+R)}^2}{r}-\frac{{(r+R)}^3}{3r^2}\right)\right\}=G\rho ·2\pi \frac{2R^3}{3r^2}=\\ G\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}·2\pi \frac{2R^3}{3r^2}=G\frac{M}{r^2}\end{array}}$

Alaternativa

En vez de dividir la esfera en discos de radio variable y y espesor dz, dividimos la esfera en capas esféricas concéntricas de radio x y de espesor dx.

Dividimos dicha capa en anillos. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

$$\begin{gathered} {\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}·\cos \alpha = \\ G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}\frac{r-x\cos \theta }{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}}} \end{gathered}$$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y d espesor dx.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta (r-x\cos \theta )d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(r{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}-x{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta \cos \theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La primera integral es inmediata, integramos por partes la segunda. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(-\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_0^{\pi }=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(-\frac{1}{x(r+x)}-\frac{1}{r(r+x)}+\frac{(r+x)}{r^{2}x}\right)-\left(-\frac{1}{x(r-x)}+\frac{1}{r(r-x)}+\frac{(r-x)}{r^{2}x}\right)\right\}=\frac{G\rho 4\pi x^{2}dx}{r^2}\end{array}}$

${\displaystyle \frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}$

Esta expresión nos da la aceleración de la gravedad producida por una capa esférica de radio x y de espesor dx en un punto P situado a una distancia r>x del centro de la capa esférica.

Calculamos la fuerza ejercida por la esfera de masa M sobre la unidad de masa situada en P, sumando la fuerza que ejerce cada una de las capas esféricas en la que hemos dividido la esfera. El módulo de la aceleración de la gravedad vale.

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}=\frac{G\rho 4\pi }{r^2}\frac{R^3}{3}=\frac{G4\pi }{r^2}\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{R^3}{3}=G\frac{M}{r^2}}$

Si tenemos en cuenta que el vector $\overrightarrow{g}$ apunta hacia el centro de la Tierra

${\displaystyle g=-G\frac{M}{r^2}r>R}$

El punto P está en el interior de la esfera de radio R.

El punto P está a una distancia r<R del centro de la esfera. Dividimos la esfera en dos, una esfera hueca de radio interior r y radio exterior R. y una esfera maciza de radio r.

Fuerza que ejerce la esfera interior

La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad de masa situada en el punto P a una distancia r del centro, la hemos calculado en el apartado anterior, solamente hemos de cambiar el límite superior de la integral R por r.

${\displaystyle g={\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{G\rho 4\pi x^2}{r^2}dx}=\frac{G\rho 4\pi }{r^2}\frac{r^3}{3}=G4\pi \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{r}{3}=GM\frac{r}{R^3}}$

Fuerza que ejerce la esfera exterior

Volvemos a calcular la fuerza que ejerce una capa esférica de radio r<x<R y de espesor dx, sobre la unidad de masa situada en P. Ahora bien, la fuerza en P debida a la masa contenida en los anillos que está por encima de P tiene la dirección del eje Z y sentido positivo, mientras que la fuerza en P debida a los anillos que están por debajo de P tiene la misma dirección pero sentido contrario.

Porción de la capa esférica por encima de P

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

$$\begin{gathered} {\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}·\cos \alpha \\ =G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}\frac{x\cos \theta -r}{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(x\cos \theta -r)}^2}}} \end{gathered}$$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites 0 y θ_p=arccos(r/x) para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la porción de capa esférica de radio x y de espesor dx que está por encima de P.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\text{sin}\theta (x\cos \theta -r)d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(-r{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}+x{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_p}{\int }}\frac{\cos \theta ·\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La segunda integral es inmediata, integramos la primera por partes. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}-\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}-\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_0^{{\theta }_p}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}-\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)-\left(\frac{1}{x(x-r)}-\frac{1}{r(x-r)}-\frac{(x-r)}{r^{2}x}\right)\right\}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}+\frac{1}{r^2}\right)\end{array}}$

Porción de la capa esférica por debajo de P

Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.  La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P

$$\begin{gathered} {\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·\text{sin}\theta ·x·d\theta ·dx}{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}·\cos \alpha = \\ G\frac{\rho ·2\pi x^2·\text{sin}\theta ·dx·d\theta }{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}\frac{r-x\cos \theta }{\sqrt{{(x·\text{sin}\theta )}^2+{(r-x\cos \theta )}^2}}} \end{gathered}$$

Integramos respecto de la variable θ, entre los límites θ_p=arccos(r/x) y π para calcular la fuerza sobre la unidad de masa situada en P ejercida por la distribución de masa contenida en la capa esférica de radio x y de espesor dx.

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta (r-x\cos \theta )d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(r{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}-x{\displaystyle \underset{{\theta }_p}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\text{sin}\theta \cos \theta ·d\theta }{\sqrt{{(r^2+x^2-2rx\cos \theta )}^3}}}\right)\end{array}}$

La primera integral es inmediata, integramos la segunda por partes. El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}G\rho 2\pi x^{2}dx{\left(-\frac{1}{x\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\cos \theta }{r\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}+\frac{\sqrt{r^2+x^2-2rx\cos \theta }}{r^{2}x}\right)}_{{\theta }_p}^{\pi }=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left\{\left(-\frac{1}{x(r+x)}-\frac{1}{r(r+x)}+\frac{(r+x)}{r^{2}x}\right)-\left(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}+\frac{1}{x\sqrt{x^2-r^2}}+\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)\right\}=\\ G\rho 2\pi x^{2}dx\left(\frac{1}{r^2}-\frac{\sqrt{x^2-r^2}}{r^{2}x}\right)\end{array}}$

Como la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en la capa semiesférica que está por encima de P y la fuerza ejercida en P por la distribución de masa contenida en por la parte de la capa semiesférica que está por debajo de P tienen el mismo valor pero signos contrarios. La fuerza neta en P debida a la capa semiesférica completa de radio x y de espesor dx es cero.

Fuerza total

Por tanto, la fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P por la distribución de masa contenida en la esfera hueca de radio interior r y exterior R es cero.

La fuerza ejercida sobre la unidad de masa situada en P a una distancia r del centro de la esfera de radio R, solamente es debida a la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r<R

Si tenemos en cuenta que el vector $\overrightarrow{g}$ apunta hacia el centro de la Tierra

${\displaystyle g=-GM\frac{r}{R^3}}$      r<R

La aceleración de la gravedad g aumenta linealmente de 0 a GM/R², en el interior de una distribución esférica y uniforme de masa M y radio R. En el exterior de dicha distribución, la aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de dicha distribución GM/r²

En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en función del cociente r/R para el planeta Tierra, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g=9.83 m/s²

Energía potencial

Una partícula de masa m experimenta una fuerza F=mg. La energía potencial E_p(r) correspondiente a esta fuerza conservativa se calcula del siguiente modo

${\displaystyle \begin{array}{l}F=\frac{-d{E}_p}{dr}\\ {\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}d{E}_p}=-{\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)·dr}{E}_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)·dr}\end{array}}$

Tomamos como nivel cero de energía potencial E_p(∞)=0

• Energía potencial de la partícula para r>R

Para r>R, la expresión de la fuerza sobre la partícula es F(r)=-GMm/r²

${\displaystyle E_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{GMm}{r^2}dr=}-\frac{GMm}{r}}$

• Energía potencial de la partícula para r<R

Para r<R, la expresión de la fuerza sobre la partícula es F(r)=-GMmr/R³

${\displaystyle E_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}F(r)dr=}{\displaystyle \underset{r}{\overset{R}{\int }}-\frac{GMm}{R^3}r·dr+}{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{GMm}{r^2}dr}=-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R^3}\frac{r^2}{2}}$

En la figura, se representa la energía potencial E_p(r) en función del cociente (r/R)

El principio de conservación de la energía

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2+E_p(r)=\text{cte}}$

Conocida la posición r₀ inicial y la velocidad inicial v₀ de la partícula, calculamos la velocidad v de la partícula para una determinada posición r.

Sistema Tierra-Luna

Un ejercicio habitual en Física es el cálculo de la posición P, en la línea que une los centros de la Tierra y la Luna, donde las fuerzas de atracción de ambos cuerpos se cancelan.

Supongamos que la Tierra es un cuerpo esférico de masa M y radio R y la Luna es un cuerpo esférico de masa m y radio r. Sea d la separación de los centros de ambos cuerpos.

• La fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobe un cuerpo de masa unidad situado en P es

${\displaystyle F_T=G\frac{M}{x^2}}$

• La fuerza de atracción que ejerce la Luna sobre un cuerpo de masa unidad situado en P es

${\displaystyle F_L=G\frac{m}{{\left(d-x\right)}^2}}$

Ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido contrario, sus módulos son iguales en la posición P distante R≤x≤d-r del centro de la Tierra

${\displaystyle G\frac{m}{{\left(d-x\right)}^2}=G\frac{M}{x^2}}$

Como el término d-x es positivo, extremos la raíz cuadrada y despejamos x

${\displaystyle x_e=\frac{d}{1+\sqrt{\frac{m}{M}}}}$

Con los datos de la Tierra y la Luna:

• Masa de la Tierra, M=5.98·10²⁴ kg
• Radio de la Tierra, R=6 374 km
• Masa de la Luna, m=7.349·10²² kg
• Radio de la Luna, r=1 737 km
• Distancia media entre la Tierra y la Luna, d=384 000 km (60.2·R radios terrestres)

El resultado es x_e=346 000 km o bien 54.2·R radios terrestres. Un posición cercana a la Luna debido a su menor masa

El campo gravitatorio de la Tierra se describe mediante la función

${\displaystyle g_M(x)=\{\begin{array}{l}\frac{GM}{x^2}x\ge R\\ \frac{GM}{R^3}x0<x<R\end{array}}$

El campo gravitatorio de la Luna se describe mediante la función

${\displaystyle g_m(x)=\{\begin{array}{l}\frac{Gm}{{\left(d-x\right)}^2}x\le d-r\\ \frac{Gm}{r^3}(d-x)d-r<x<d\end{array}}$

En la línea que une los centros de la Tierra y la Luna, los campos tienen la misma dirección y sentido contrario.

Sabiendo que el gravitatorio en la superficie de la Tierra, suponiendo la Tierra un cuerpo aislado, es g=GM/R²

${\displaystyle \begin{array}{l}{g}_M(x)=\{\begin{array}{l}g{\left(\frac{R}{x}\right)}^{2}x\ge R\\ g\frac{x}{R}0<x<R\end{array}\\ g_m(x)=\{\begin{array}{l}g\frac{m}{M}{\left(\frac{R}{d-x}\right)}^{2}x\le d-r\\ g\frac{m}{M}{\left(\frac{R}{r}\right)}^2\left(\frac{d-x}{r}\right)d-r<x<d\end{array}\end{array}}$

Para poder ver mejor la representación gráfica, se ha multiplicado la masa de la Luna por 5 y los radios de la Tierra y la Luna por 10.

G=6.67e-11; %constante G
R=10*6374; %radio de la Tierra
M=5.98e24; %masa de la Tierra
r=10*1737; %radio de la Luna
m=5*7.349e22; %masa de la Luna
d=384000; %distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna
g=G*M/(1000*R)^2; %aceleración de la gravedad en la Tierra

gM=@(x) g*((x>=R).*(R./x).^2+(x<R).*x/R);
gm=@(x) g*((m/M)*(x<=d-r).*(R./(d-x)).^2+(m/M)*(R/r)^2*(d-r<x).*((d-x)/r));
hold on
fplot(gM,[0,d])
fplot(gm,[0,d])
hold off
grid on
xlabel('x (km)')
ylabel('g (m/s^2)')
title('Aceleración de la gravedad Tierra-Luna')

Además del punto que hemos calculado, situado entre la superficie de la Tierra y la superficie de la Luna x_e=346 000 km, hay otros dos puntos situados uno en el interior de la Tierra y otro en el interior de la Luna.

• El primer punto x<R se obtiene igualando el campo producido por la Luna en los puntos exteriores con el campo producido por la Tierra en sus puntos interiores

${\displaystyle \begin{array}{l}g\frac{x}{R}=g\frac{m}{M}{\left(\frac{R}{d-x}\right)}^2\\ {\left(\frac{x}{R}\right)}^3-2\frac{d}{R}{\left(\frac{x}{R}\right)}^2+{\left(\frac{d}{R}\right)}^2\frac{x}{R}-\frac{m}{M}=0\end{array}}$

• El segundo punto x>d-r se obtiene igualando el campo producido por la Tierra en los puntos exteriores con el campo producido por la Luna en sus puntos interiores

${\displaystyle \begin{array}{l}g\frac{m}{M}{\left(\frac{R}{r}\right)}^2\left(\frac{d-x}{r}\right)=g{\left(\frac{R}{x}\right)}^2\\ {\left(\frac{x}{r}\right)}^3-\frac{d}{r}{\left(\frac{x}{r}\right)}^2+\frac{M}{m}=0\end{array}}$

Resolvemos las ecuaciones cúbicas

G=6.67e-11; %constante G
R=6374; %radio de la Tierra
M=5.98e24; %masa de la Tierra
r=1737; %radio de la Luna
m=7.349e22; %masa de la Luna
d=384000; %distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna

x1=raices_3([1,-2*d/R,(d/R)^2,-m/M])
x2=raices_3([1,-d/r,0,M/m])

Hemos utilizado la función raices_3 definida en la página titulada Raíces de una ecuación (I)

>> format long
x1 =
   0.000003386014249
  60.259025071776179
  60.230460089432654
x2 =
   1.0e+02 *
  -0.006058658395533
   2.210691467350754
   0.006075308488648
>> x1(1)*R*1000
ans =  21.582454825860964
>> d-x2(2)*r
ans =   2.892121174081694

• El primer punto está situado a 21.58 m del centro de la Tierra
• El segundo punto está situado a 2.89 km del centro de la Luna
• El tercer punto, que calculamos al principio de este apartado, a una distancia 346 000 km, del centro de la Tierra

Referencias

Ultimo apartado

F M S Lima. Where else is null the gravitational field between two massive spheres?. Eur. J. Phys. 30 (2009) pp. 785-792